Definizioni e concetti fondamentali
In algebra, un'uguaglianza è una scrittura matematica in cui due espressioni sono separate dal segno di uguale (=). L'espressione situata a sinistra si chiama primo membro, mentre quella a destra si chiama secondo membro. Le uguaglianze contenenti variabili si dividono in due grandi categorie: identità ed equazioni.
1. Che cos'è un'Identità?
Un'identità è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che risulta vera per qualsiasi valore attribuito alle lettere (variabili) in essa presenti, purché tali valori non facciano perdere di significato le espressioni stesse.
A(x) = B(x) è un'identità se la relazione vale ∀ x ∈ ℝ
2. Che cos'è un'Equazione?
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che risulta vera solo per particolari valori attribuiti alle lettere incognite. I valori che rendono vera l'uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell'equazione.
A(x) = B(x) è un'equazione se la relazione vale solo per x ∈ S ⊂ ℝ
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono identità o equazioni:
a) 3(x + 2) = 3x + 6
b) 4x - 5 = 7
Risoluzione passo-passo:
- Analisi caso (a):
- Sviluppando il primo membro:
3(x + 2) = 3x + 6. - Il primo membro è identico al secondo membro. L'uguaglianza è vera per qualsiasi valore di
x. 3(x + 2) = 3x + 6è un'Identità.
- Sviluppando il primo membro:
- Analisi caso (b):
- Se
x = 3⇒4(3) - 5 = 12 - 5 = 7(Vera). - Se
x = 0⇒4(0) - 5 = -5 ≠ 7(Falsa). - L'uguaglianza è vera soltanto se
x = 3. 4x - 5 = 7è un'Equazione con soluzionex = 3.
- Se
🎯 Risultato: a) Identità; b) Equazione.