1. Intersezione con l'Asse \(y\) (Ordinata all'origine)
Per trovare il punto in cui la parabola interseca l'asse verticale delle ordinate, si pone \(x = 0\) nell'equazione generale \(y = ax^2 + bx + c\).
Il termine noto \(c\) rappresenta visivamente l'altezza in cui la curva attraversa l'asse \(y\).
2. Intersezioni con l'Asse \(x\) (Zeri della funzione)
Per trovare i punti in cui la parabola interseca l'asse orizzontale delle ascisse, si pone \(y = 0\), ottenendo un'equazione di secondo grado associata: \(ax^2 + bx + c = 0\). A seconda del segno del discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), avremo tre casi geometrici distinti:
- \(\Delta > 0\): La parabola interseca l'asse \(x\) in due punti distinti \(X_1\left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right)\) e \(X_2\left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right)\).
- \(\Delta = 0\): La parabola è tangente all'asse \(x\) in un solo punto coincidente con il vertice \(V\left(-\frac{b}{2a}, 0\right)\).
- \(\Delta < 0\): La parabola non interseca l'asse \(x\) (rimane interamente sopra o sotto di esso).
\(\Delta > 0\) (2 Intersezioni)
Due zeri reali distinti.
\(\Delta = 0\) (1 Tangenza)
Vertice sull'asse \(x\).
\(\Delta < 0\) (Nessuna Intersezione)
Nessun punto di contatto.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Trova le intersezioni con gli assi della parabola \(y = x^2 - 5x + 6\).
Svolgimento:
- Intersezione asse \(y\): Poniamo \(x = 0 \implies y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6\). Otteniamo il punto \(A(0, 6)\).
- Intersezioni asse \(x\): Poniamo \(y = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0\).
- Calcoliamo il delta: \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\).
- Troviamo le soluzioni con la formula \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\): $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$
- Otteniamo i punti d'intersezione \(B(2, 0)\) e \(C(3, 0)\).
🎯 Risultato: Intercetta asse \(y\) in \((0, 6)\); intersezioni asse \(x\) in \((2, 0)\) e \((3, 0)\).