1. Caratteristiche e Grafico della Funzione Logaritmica
La funzione logaritmica elementare si presenta nella forma f(x) = loga(x), dove la base a deve soddisfare le condizioni a > 0 e a ≠ 1. Il dominio (o campo di esistenza) della funzione è l'insieme dei numeri reali positivi: D = (0, +\infty), mentre il codominio è l'intero asse reale R.
- Passaggio per il punto (1,0): Qualsiasi sia la base
a,loga(1) = 0, quindi il grafico interseca sempre l'asse x nel punto di coordinate(1, 0). - Asintoto verticale: La retta di equazione
x = 0(l'asse delle ordinate) rappresenta un asintoto verticale per la funzione.
2. Monotonia e Andamento
Il comportamento della funzione all'aumentare di x dipende strettamente dal valore della base a:
- Se
a > 1, la funzione è strettamente crescente: dati0 < x₁ < x₂, si haloga(x₁) < loga(x₂). - Se
0 < a < 1, la funzione è strettamente decrescente: dati0 < x₁ < x₂, si haloga(x₁) > loga(x₂).
La funzione logaritmica f(x) = loga(x) è l'inversa della funzione esponenziale g(x) = ax. I loro grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (la retta y = x).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Studia il dominio e calcola i valori notevoli della funzione f(x) = log2(x - 3) + 1.
Risoluzione passo-passo:
- Imponiamo la condizione di esistenza sull'argomento del logaritmo:
x - 3 > 0 ⇒ x > 3. Il dominio è quindi l'intervallo(3, +\infty). - Per trovare l'intersezione con l'asse x, poniamo
f(x) = 0:
log2(x - 3) + 1 = 0 ⇒ log2(x - 3) = -1. - Passiamo alla forma esponenziale equivalente:
x - 3 = 2-1 = 1/2. - Ricaviamo la
x:x = 3 + 1/2 = 7/2.
🎯 Dominio: x > 3 | Intersezione asse x: (7/2, 0)