Cosa sono le Funzioni Continue?
Una funzione si dice continua in un punto del suo dominio se il valore assunto dalla funzione in quel punto coincide con il limite della funzione stessa quando la variabile tende a quel punto.
Definizione analitica di continuità in \(x_0\):
Una funzione \(f(x)\) è continua in \(x_0\) se sono soddisfatte tre condizioni:
- Esiste il valore \(f(x_0)\) (il punto appartiene al dominio);
- Esiste finito il limite \(\lim_{x \to x_0} f(x)\);
- Il valore del limite coincide con il valore della funzione: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
🛠️ Classificazione dei Punti di Discontinuità
Se anche una sola delle tre condizioni viene meno, il punto \(x_0\) è di discontinuità e si divide in tre specie:
- Prima specie (salto): Esistono finiti i limiti destro e sinistro, ma sono diversi tra loro (\(l_1 \neq l_2\)).
- Seconda specie: Almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) non esiste o è infinito (\(\infty\)).
- Terza specie (eliminabile): Esiste finito il limite ma è diverso da \(f(x_0)\) oppure \(f(x_0)\) non è definita, pur esistendo il limite.