1. Cosa sono le Frazioni Equivalenti?
Due o più frazioni si dicono equivalenti quando, applicate alla stessa quantità o allo stesso intero, rappresentano la stessa parte o valore, anche se sono scritte con numeratori e denominatori diversi.
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
2. La Proprietà Invariantiva delle Frazioni
Per ottenere una frazione equivalente a una data, si applica la proprietà invariantiva:
📌 Regola: Moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
- Amplificazione: Moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero intero. (es.
2/3 × 3/3 = 6/9) - Semplificazione: Dividere numeratore e denominatore per un divisore comune. (es.
8/12 : 4/4 = 2/3)
📝 Esercizio Esempio Guidato #1 (Proprietà Invariantiva)
Testo: Trova il termine mancante x affinché le due frazioni siano equivalenti: 3/5 = x/20.
Risoluzione passo-passo:
- Osserviamo i denominatori: da
5a20il valore è stato moltiplicato per4(20 : 5 = 4). - Per la proprietà invariantiva, dobbiamo moltiplicare anche il numeratore
3per4. x = 3 × 4 = 12.
🎯 Risultato: x = 12 (la frazione è 12/20).
3. Semplificazione e Riduzione ai Minimi Termini
Una frazione si dice ridotta ai minimi termini (o irriducibile) quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, cioè non hanno divisori comuni oltre all'unità (M.C.D. = 1).
Per ridurre una frazione ai minimi termini in un solo passaggio, si dividono sia il numeratore che il denominatore per il loro Massimo Comune Divisore (M.C.D.).
📝 Esercizio Esempio Guidato #2 (Riduzione ai Minimi Termini)
Testo: Riduci ai minimi termini la frazione 24/36.
Risoluzione passo-passo:
- Troviamo il Massimo Comune Divisore tra 24 e 36:
M.C.D.(24, 36) = 12. - Dividiamo numeratore e denominatore per 12:
24 : 12 = 2e36 : 12 = 3.
🎯 Risultato: 2/3.
4. Verificare se due Frazioni sono Equivalenti
Per verificare se due frazioni a/b e c/d sono equivalenti, si può utilizzare la regola dei prodotti incrociati:
a/b = c/d ⇔ a × d = b × c