Introduzione
Le formule di prostaferesi consentono di trasformare la somma o la differenza di seni e coseni in un prodotto. Viceversa, le formule di Werner permettono di trasformare il prodotto di seni e coseni in una somma o differenza.
1. Formule di Prostaferesi
$$\sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$
$$\sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$
$$\cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$
$$\cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$$
2. Formule di Werner
$$\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} \left[ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right]$$
$$\cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{2} \left[ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) \right]$$
$$\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) \right]$$
$$\sin\alpha \sin\beta = -\frac{1}{2} \left[ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) \right]$$
📝 Esempio Guidato
Trasforma in prodotto la somma: \(\sin 75^\circ + \sin 15^\circ\).
Svolgimento:
- Applichiamo la formula di prostaferesi per la somma dei seni con \(\alpha = 75^\circ\) e \(\beta = 15^\circ\):
$$\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right)$$
- Calcoliamo i valori interni alle funzioni:
$$\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = 45^\circ, \quad \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 30^\circ$$
- Sostituiamo e calcoliamo i valori noti:
$$2 \sin(45^\circ) \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
🎯 Risultato: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).