Introduzione
Le formule di duplicazione permettono di esprimere le funzioni goniometriche dell'angolo doppio \(2\alpha\) in funzione di quelle dell'angolo semplice \(\alpha\). Le formule di bisezione consentono invece di ricavare le funzioni goniometriche dell'angolo metà \(\frac{\alpha}{2}\) a partire da quelle di \(\alpha\).
1. Formule di Duplicazione
Ponendo \(\beta = \alpha\) nelle formule di addizione si ottengono:
$$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$$
$$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$$
$$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$
2. Formule di Bisezione
Ricavate dalle identità del coseno, presentano il segno \(\pm\) da scegliere in base al quadrante in cui si trova l'angolo metà:
$$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$$
$$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$$
📝 Esempio Guidato
Calcola il valore esatto di \(\sin 22.5^\circ\).
Svolgimento:
- Notiamo che \(22.5^\circ\) è la metà di \(45^\circ\):
$$22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$$
- Applichiamo la formula di bisezione del seno (scegliendo il segno positivo poiché l'angolo si trova nel primo quadrante):
$$\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}}$$
- Sostituiamo il valore noto \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
$$= \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$
🎯 Risultato: \(\sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\).