Introduzione alle Formule
Le formule di addizione e sottrazione permettono di determinare il seno, il coseno e la tangente della somma o della differenza di due angoli (\(\alpha \pm \beta\)) conoscendo le funzioni goniometriche dei singoli angoli \(\alpha\) e \(\beta\).
1. Formule per il Coseno
Il coseno della differenza e della somma di due angoli si calcola rispettivamente come:
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$$
2. Formule per il Seno
Il seno della somma e della differenza di due angoli si calcola come:
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$$
3. Formule per la Tangente
La tangente della somma e della differenza di due angoli è data da:
$$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}$$
📝 Esempio Guidato
Calcola il valore esatto di \(\sin 75^\circ\).
Svolgimento:
- Riscriviamo l'angolo di \(75^\circ\) come somma di angoli notevoli:
$$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$$
- Applichiamo la formula di addizione del seno:
$$\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$
- Sostituiamo i valori noti:
$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
🎯 Risultato: \(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).