1. Definizione della Forma Trigonometrica
Un numero complesso z = a + ib può essere espresso anche attraverso le sue coordinate polari nel piano di Argand-Gauss: il suo modulo r = |z| e l'angolo θ (argomento) formato dal vettore con la semiretta positiva dell'asse reale.
- Relazioni fondamentali: Poé
a = r · cos(θ)eb = r · sin(θ), la forma trigonometrica si scrive comez = r · (cos(θ) + i · sin(θ)). - Calcolo del modulo:
r = √(a2 + b2). - Calcolo dell'argomento: L'angolo
θsi ricava risolvendo il sistemacos(θ) = a / resin(θ) = b / r, tenendo conto del quadrante di appartenenza.
2. Regole di Conversione
Il passaggio da una forma all'altra richiede la conoscenza dei valori notevoli delle funzioni trigonometriche per angoli comuni (0, π/6, π/4, π/3, π/2, ecc.):
- Dalla forma algebrica
a + iballa trigonometrica: si calcolare si determinaθtramitetg(θ) = b / a. - Dalla forma trigonometrica
r(cos(θ) + i sin(θ))alla algebrica: si sviluppano i prodotti calcolando esplicitamente i valori di seno e coseno.
Convertiamo in forma trigonometrica il numero z = 1 + i√3:
• Modulo: r = √(12 + (√3)2) = √(1 + 3) = √4 = 2.
• Argomento: cos(θ) = 1 / 2 e sin(θ) = √3 / 2 ⇒ l'angolo è θ = π / 3 (60°).
• Forma trigonometrica: z = 2 · (cos(π / 3) + i · sin(π / 3)).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova la forma trigonometrica del numero complesso z = -1 - i.
Risoluzione passo-passo:
- Calcoliamo il modulo:
r = √((-1)2 + (-1)2) = √(1 + 1) = √2. - Determiniamo seno e coseno:
cos(θ) = -1 / √2 = -√2 / 2esin(θ) = -√2 / 2. - Poiché entrambe le componenti sono negative, il numero si trova nel terzo quadrante, corrispondente all'angolo
θ = 5π / 4(225°). - Scriviamo la forma trigonometrica:
z = √2 · (cos(5π / 4) + i · sin(5π / 4)).
🎯 Risultato: z = √2(cos(5π/4) + i sin(5π/4))