1. Definizione e Struttura di un Numero Complesso
Un numero complesso z è un'espressione del tipo z = a + ib (o a + bi), dove a e b sono numeri reali, e i è l'unità immaginaria tale che i2 = -1. L'insieme di tutti i numeri complessi viene indicato con il simbolo C.
- Parte Reale: Il termine
aè detto parte reale diz, e si indica con il simboloRe(z) = a. - Parte Immaginaria: Il coefficiente
bè detto parte immaginaria diz, e si indica conIm(z) = b(attenzione: la parte immaginaria è il numero realeb, nonbi). - Casi Particolari: Se
b = 0, il numero complesso si riduce a un numero realea. Sea = 0eb ≠ 0, il numero si dice immaginario puro.
2. Operazioni Fondamentali in Forma Algebrica
Le operazioni di somma, sottrazione e moltiplicazione tra numeri complessi in forma algebrica si eseguono applicando le normali regole del calcolo letterale e tenendo conto della proprietà fondamentale i2 = -1.
- Addizione:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Si sommano separatamente le parti reali e le parti imaginaire. - Moltiplicazione:
(a + ib) · (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc), sfruttando la proprietà distributiva.
Calcoliamo il prodotto tra z1 = 2 + 3i e z2 = 1 - 2i:
• Sviluppiamo la proprietà distributiva: (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 · 1 + 2 · (-2i) + 3i · 1 + 3i · (-2i).
• Semplifichiamo i prodotti: 2 - 4i + 3i - 6i2.
• Sostituiamo i2 = -1: 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola la somma e la differenza dei numeri complessi z1 = 5 + 2i e z2 = 3 - 4i.
Risoluzione passo-passo:
- Somma:
(5 + 2i) + (3 - 4i) = (5 + 3) + i(2 - 4) = 8 - 2i. - Differenza:
(5 + 2i) - (3 - 4i) = 5 + 2i - 3 + 4i = (5 - 3) + i(2 + 4) = 2 + 6i.
🎯 Risultati: Somma = 8 - 2i, Differenza = 2 + 6i