1. Il Fascio Proprio di Rette
Si definisce fascio proprio di rette l'insieme infinito di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto, detto centro del fascio P(x0, y0).
L'equazione algebrica generale del fascio proprio passante per P(x0, y0) è:
y - y0 = m(x - x0)
- Il parametro
m(coefficiente angolare) rappresenta il generatore variabile: al variare diminR, ruotiamo attorno al centro fissoP. - Nota bene: con questa formula è possibile rappresentare tutte le rette del fascio tranne la retta verticale passante per il centro (che ha equazione
x = x0).
2. Il Fascio Improprio di Rette
Si definisce fascio improprio di rette l'insieme infinito di tutte le rette parallele tra loro nel piano cartesiano.
L'equazione algebrica generale del fascio improprio caratterizzato da un coefficiente angolare fisso m è:
y = mx + q (con m fisso e q ∈ R parametro variabile)
- Variando il termine noto
q, otteniamo infinite rette traslate verticalmente ma rigorosamente parallele tra loro.
P; a destra un fascio improprio di rette parallele.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Scrivi l'equazione della retta appartenente al fascio proprio di centro P(2, -3) e passante per il punto ausiliario A(4, 1).
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo l'equazione del fascio proprio con centro
P(2, -3):y - (-3) = m(x - 2)⇒y + 3 = m(x - 2). - Per trovare il valore specifico di
m, imponiamo il passaggio per il puntoA(4, 1)sostituendox = 4ey = 1. 1 + 3 = m(4 - 2)⇒4 = 2m⇒m = 2.- Sostituiamo
m = 2nell'equazione del fascio:y + 3 = 2(x - 2)⇒y + 3 = 2x - 4⇒y = 2x - 7.
🎯 Risultato: L'equazione della retta cercata è y = 2x - 7.