Il Metodo di Sostituzione
Molte equazioni goniometriche non elementari presentano potenze di un'unica funzione trigonometrica (ad esempio solo seni o solo coseni). In questi casi si introduce una variabile ausiliaria $t$ (con $-1 \le t \le 1$ se si tratta di seno o coseno) per trasformare l'equazione in una normale equazione algebrica (spesso di secondo grado).
$$a\sin^2 x + b\sin x + c = 0 \quad \xrightarrow{\quad t = \sin x \quad} \quad at^2 + bt + c = 0$$
📝 Esempio Guidato
Risolvi l'equazione: $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
- Poniamo la sostituzione $t = \sin x$. L'equazione diventa algebrica: $2t^2 - t - 1 = 0$.
- Risolviamo l'equazione di secondo grado trovando le radici: $t_1 = 1$ e $t_2 = -\frac{1}{2}$.
- Torniamo alla variabile originaria risolvendo le equazioni elementari: $$\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ $$\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \lor x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$$