1. Le Equazioni Incomplete
Un'equazione di secondo grado in forma normale $ax^2 + bx + c = 0$ si dice incompleta se almeno uno dei coefficienti $b$ o $c$ è uguale a zero (fermo restando che $a \neq 0$).
1. Equazione Spuria ($c = 0, b \neq 0$)
Si presenta nella forma $ax^2 + bx = 0$. Si risolve raccogliendo a fattor comune l'incognita $x$ ed applicando la legge di annullamento del prodotto:
$$x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{oppure} \quad ax + b = 0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}$$
Un'equazione spuria ha sempre due soluzioni reali e distinte, di cui una è sempre $x = 0$.
2. Equazione Pura ($b = 0, c \neq 0$)
Si presenta nella forma $ax^2 + c = 0$. Si risolve isolando il termine $x^2$:
$$x^2 = -\frac{c}{a}$$
- Se $-\frac{c}{a} > 0$ (cioè $a$ e $c$ hanno segni opposti), ci sono due soluzioni reali opposte: $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.
- Se $-\frac{c}{a} < 0$ (cioè $a$ e $c$ hanno lo stesso segno), l'equazione è impossibile in $\mathbb{R}$.
3. Equazione Monomia ($b = 0$ e $c = 0$)
Si presenta nella forma $ax^2 = 0$. Dividendo per $a$ si ottiene $x^2 = 0$, che ammette un'unica soluzione reale coincidente:
$$x_1 = x_2 = 0$$
📝 Esempi Guidati
- Spuria: $3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, \, x_2 = 4$.
- Pura (reale): $2x^2 - 18 = 0 \implies 2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
- Pura (impossibile): $x^2 + 16 = 0 \implies x^2 = -16 \implies \text{Impossibile in } \mathbb{R}$.
- Monomia: $-5x^2 = 0 \implies x = 0$.