Cosa sono le Equazioni Omogenee di Secondo Grado
Un'equazione goniometrica si dice omogenea di secondo grado in seno e coseno quando tutti i suoi termini sono di grado complessivo pari a 2 rispetto a $\sin x$ e $\cos x$. La forma generale è la seguente:
$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$$
Il metodo standard di risoluzione prevede di dividere l'intera equazione per $\cos^2 x$ (verificando prima se $\cos x = 0$ sia soluzione) per ricondurla a un'equazione algebrica di secondo grado nella funzione tangente ($\tan x$).
📝 Esempio Guidato
Risolvi l'equazione omogenea: $\sin^2 x - 3\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$
- Verifichiamo se $\cos x = 0$: sostituendo otteniamo $\sin^2 x = 0$, ma $\sin x$ e $\cos x$ non possono annullarsi contemporaneamente (relazione fondamentale). Dunque $\cos x \neq 0$.
- Dividiamo tutti i termini per $\cos^2 x$: $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \implies \tan^2 x - 3\tan x + 2 = 0$$
- Ponendo $t = \tan x$, risolviamo l'equazione di secondo grado $t^2 - 3t + 2 = 0$, trovando $t_1 = 1$ e $t_2 = 2$.
- Torniamo alla tangente: $$\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$ $$\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + k\pi$$