1. Principi Generali e Condizioni di Esistenza
Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare all'argomento di uno o più logaritmi. La regola fondamentale e inderogabile per risolverle correttamente consiste nell'imporre le Condizioni di Esistenza (C.E.) prima di applicare qualsiasi proprietà dei logaritmi o principio di equivalenza.
- Tutti gli argomenti contenenti l'incognita devono essere posti strettamente maggiori di zero:
f(x) > 0. - Le basi variabili, se presenti, devono essere
> 0e≠ 1. - Le soluzioni finali che non rispettano le C.E. iniziali devono essere scartate come non accettabili.
2. Metodi di Risoluzione Principali
Le equazioni logaritmiche si riconducono solitamente a due forme standard:
- Forma elementare:
loga(f(x)) = loga(g(x)) ⇔ f(x) = g(x)(previo rispetto delle C.E.). - Uguaglianza con una costante:
loga(f(x)) = k ⇔ f(x) = ak.
Risolviamo log2(x - 1) = 3:
• C.E.: x - 1 > 0 ⇒ x > 1.
• Passiamo alla forma esponenziale: x - 1 = 23 = 8.
• Ricaviamo la x: x = 8 + 1 = 9.
• Verifica C.E.: 9 > 1, quindi la soluzione è accettabile.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi l'equazione: log3(x + 2) + log3(x) = log3(8).
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo il sistema delle C.E.:
•x + 2 > 0 ⇒ x > -2
•x > 0
Dominio complessivo:x > 0. - Applichiamo la proprietà del prodotto al primo membro:
log3[x(x + 2)] = log3(8). - Uguagliamo gli argomenti avendo la stessa base a entrambi i membri:
x(x + 2) = 8 ⇒ x2 + 2x - 8 = 0. - Risolviamo l'equazione di secondo grado: le soluzioni sono
x = 2ex = -4. - Confrontiamo con le C.E. (
x > 0):x = -4viene scartato, mentrex = 2è accettabile.
🎯 Soluzione accettabile: x = 2