1. Discussione del Parametro
Nelle equazioni letterali, i coefficienti $a$, $b$ o $c$ dipendono da un parametro (es. $k$ o $a$). È necessario effettuare una discussione:
- Caso di 1° grado: Discutere i valori del parametro che annullano il coefficiente di $x^2$ ($a = 0$).
- Caso di 2° grado: Se $a \neq 0$, studiare il segno del $\Delta$:
- $\Delta > 0$: due soluzioni reali distinte.
- $\Delta = 0$: due soluzioni coincidenti.
- $\Delta < 0$: nessuna soluzione reale.
📝 Esempio Guidato
Risolvi e discuti al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$: $ax^2 - 2x + 1 = 0$
- Caso $a = 0$: L'equazione diventa di 1° grado: $-2x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.
- Caso $a \neq 0$: Calcoliamo il discriminante ridotto $\frac{\Delta}{4}$: $$\frac{\Delta}{4} = (-1)^2 - a(1) = 1 - a$$
- Studiamo il segno di $\frac{\Delta}{4}$:
- Se $a < 1$ e $a \neq 0$: $\Delta > 0 \implies x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-a}}{a}$ (due soluzioni reali distinte).
- Se $a = 1$: $\Delta = 0 \implies x = \frac{1}{1} = 1$ (due soluzioni reali coincidenti).
- Se $a > 1$: $\Delta < 0 \implies$ Nessuna soluzione reale ($S=\emptyset$).