1. Equazioni della Forma $\sqrt{A(x)} = B(x)$
Per risolvere un'equazione irrazionale con radice quadrata si impone il seguente sistema equivalente per garantire esistenza e concordanza dei segni:
$$\begin{cases} A(x) \ge 0 & \text{(Realtà del radicale)} \\ B(x) \ge 0 & \text{(Concordanza del segno)}
\\ A(x) = [B(x)]^2 & \text{(Elevamento a potenza)} \end{cases}$$
📝 Esempio Guidato
Risolvi l'equazione: $\sqrt{x + 5} = x - 1$
- Impostiamo il sistema: $$\begin{cases} x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5 \\ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ x + 5 = (x - 1)^2 \end{cases}$$
- Sviluppiamo l'equazione: $x + 5 = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$.
- Le soluzioni sono $x_1 = -1$ e $x_2 = 4$.
- Verifichiamo la condizione $x \ge 1$: solo **$x = 4$ è accettabile**.