Cos'è un'Equazione Intera?
Un'equazione algebrica si dice intera se l'incognita $x$ non compare mai a denominatore di alcuna frazione. Anche se l'equazione presenta numeri frazionari (es. $\frac{x}{3}$ o $\frac{2x - 1}{4}$), essa **rimane un'equazione intera** perché i denominatori sono numeri costanti e non contengono la variabile $x$.
Algoritmo Risolutivo Generale
Per risolvere qualsiasi equazione di 1° grado intera si seguono questi passaggi ordinati:
- Sviluppo dei calcoli algebrici: eseguire prodotti, potenze e prodotti notevoli presenti nei membri.
- Eliminazione dei denominatori (se presenti): calcolare il $\text{m.c.m.}$ di tutti i denominatori numerici e moltiplicare tutti i termini per tale valore (2° principio di equivalenza).
- Isolamento dei termini con l'incognita: trasportare tutti i termini contenenti la $x$ al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro, cambiando segno (1° principio).
- Riduzione dei termini simili: portare l'equazione nella forma normale $ax = b$.
- Calcolo della soluzione: dividere entrambi i membri per $a$ per ottenere $x = \frac{b}{a}$ (con $a \neq 0$).
📐 Classificazione Finale in Base ai Coefficienti:
• Se $a \neq 0$ ⇒ Determinata ($x = \frac{b}{a}$)
• Se $a = 0$ e $b = 0$ ⇒ Indeterminata ($0x = 0$, infinite soluzioni)
• Se $a = 0$ e $b \neq 0$ ⇒ Impossibile ($0x = b$, nessuna soluzione)
• Se $a \neq 0$ ⇒ Determinata ($x = \frac{b}{a}$)
• Se $a = 0$ e $b = 0$ ⇒ Indeterminata ($0x = 0$, infinite soluzioni)
• Se $a = 0$ e $b \neq 0$ ⇒ Impossibile ($0x = b$, nessuna soluzione)
📝 Esercizio Esempio Guidato (con Frazionari)
Testo: Risolvi l'equazione intera con frazioni:
$$\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{2} = \frac{1}{6}$$
Risoluzione passo-passo:
- Calcolo del m.c.m. dei denominatori: $\text{m.c.m.}(3, 2, 6) = 6$.
- Moltiplichiamo entrambi i membri per 6:
$$6 \cdot \frac{x + 1}{3} - 6 \cdot \frac{x - 2}{2} = 6 \cdot \frac{1}{6}$$ $$2(x + 1) - 3(x - 2) = 1$$ - Sviluppiamo le parentesi:
$$2x + 2 - 3x + 6 = 1$$ - Sommiamo i termini simili e trasportiamo i termini noti:
$$-x + 8 = 1 \implies -x = 1 - 8 \implies -x = -7$$ - Cambio di segno (moltiplicando per -1): $x = 7$.
🎯 Risultato: $x = 7$.