1. Il Discriminante Negativo nel Campo Complesso
Nel campo reale, un'equazione di secondo grado del tipo az2 + bz + c = 0 con Δ = b2 - 4ac < 0 non ammette alcuna soluzione. Tuttavia, grazie all'introduzione dell'unità immaginaria i (tale che i2 = -1), nel campo complesso ℂ questa limitazione svanisce completamente.
Quando Δ < 0, possiamo sfruttare la proprietà fondamentale dei numeri negativi sotto radice quadrata ponendo:
2. La Formula Risolutiva
La formula risolutiva standard rimane formalmente identica a quella studiata nel campo reale, ma le soluzioni z1 e z2 diventano numeri complessi coniugati:
- Radici Coniugate: I coefficienti dell'equazione essendo reali implicano che le due soluzioni complesse siano sempre una il coniugato dell'altra (della forma
x ± iy).
Risolviamo l'equazione z2 - 2z + 5 = 0:
• Calcoliamo il discriminante: Δ = (-2)2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.
• Poiché Δ < 0, la radice quadrata vale √Δ = i · √16 = 4i.
• Applichiamo la formula: z1,2 = (2 ± 4i) / 2 = 1 ± 2i.
• Le due soluzioni complesse sono z1 = 1 + 2i e z2 = 1 - 2i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova le soluzioni nel campo complesso dell'equazione z2 + 4 = 0.
Risoluzione passo-passo:
- L'equazione è pura: possiamo isolare il termine in
z2ottenendoz2 = -4. - Estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri ricordando l'unità immaginaria
i:z = ±√(-4). - Riscriviamo il radicando negativo sfruttando
i:√(-4) = √(4 · (-1)) = 2i. - Otteniamo direttamente le due soluzioni coniugate.
🎯 Risultato: z1 = 2i, z2 = -2i