Equazioni Frazionarie di 2° Grado

1. Procedimento di Risoluzione

Un'equazione si dice frazionaria se l'incognita $x$ figura in almeno un denominatore. Per risolverla:

Scomporre in fattori tutti i denominatori.
Determinare le Condizioni di Esistenza (C.E.): imporre che ciascun fattore presente al denominatore sia diverso da zero ($\neq 0$).
Calcolare il m.c.m. dei denominatori e moltiplicare entrambi i membri per eliminarlo.
Risolvere l'equazione intera di 2° grado risultante.
Verificare le C.E.: accettare solo le soluzioni che non annullano i denominatori iniziali.

Risolvi l'equazione frazionaria: $\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Scomponiamo il denominatore: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Imponiamo le Condizioni di Esistenza (C.E.): $$\text{C.E.: } x \neq 2 \quad \text{e} \quad x \neq -2$$
Moltiplichiamo per il m.c.m. $(x-2)(x+2)$: $$x(x+2) + 2(x-2) = 8 \implies x^2 + 2x + 2x - 4 = 8 \implies x^2 + 4x - 12 = 0$$
Risolviamo l'equazione di 2° grado associata: $$\Delta = 16 - 4(1)(-12) = 64 \implies x_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \implies x_1 = 2, \, x_2 = -6$$
Confrontiamo con le C.E.: $x_1 = 2$ non è accettabile. L'unica soluzione è $x = -6$.

⚠️ Attenzione: Le soluzioni trovate che violano le Condizioni di Esistenza (C.E.) sono dette non accettabili o spurie e vanno scartate.