1. Il Metodo della Sostituzione (o Cambio di Variabile)
Molte equazioni esponenziali non possono essere risolte uguagliando le basi direttamente, ma presentano una struttura simile a un'equazione di secondo grado in cui l'incognita è una potenza del tipo ax.
La strategia generale si articola nei seguenti passaggi:
- Riconoscimento: Individuare la presenza di termini come
axea2x = (ax)2. - Posizione (Cambio di variabile): Porre
t = ax, ricordando che per definizione di funzione esponenziale deve esseret > 0. - Risoluzione dell'equazione algebrica: Sostituire
tnell'equazione originaria per ottenere un'equazione di secondo grado (o fratta) nella nuova incognitat. - Controllo e Ritrasformazione: Scartare eventuali soluzioni negative o nulle per
te risolvere l'equazione elementareax = tiper ciascuna soluzione accettabile.
2. Tipologie Ricorrenti
Le forme più comuni che richiedono il metodo della sostituzione includono:
- Equazioni del tipo
A · a2x + B · ax + C = 0. Postot = ax, si ottiene l'equazione di secondo gradoA · t2 + B · t + C = 0. - Equazioni con somme di potenze simmetriche o reciproche (es.
ax + a-x = k, ponendot = axsi riconduce at + 1/t = k).
Risolviamo 22x - 5 · 2x + 4 = 0:
• Poniamo t = 2x (con t > 0). L'equazione diventa t2 - 5t + 4 = 0.
• Troviamo le radici con il delta: t₁ = 1 e t₂ = 4 (entrambe accettabili perché maggiori di zero).
• Torniamo a x: 2x = 1 ⇒ x = 0 oppure 2x = 4 ⇒ x = 2.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi l'equazione esponenziale: 32x - 10 · 3x + 9 = 0.
Risoluzione passo-passo:
- Poniamo la variabile ausiliaria
t = 3x, con la condizione fondamentalet > 0. L'equazione si riscrive comet2 - 10t + 9 = 0. - Risolviamo l'equazione di secondo grado associata trovando il discriminante
Δ = (-10)2 - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64. - Calcoliamo le due soluzioni in
t:t1,2 = (10 ± 8) / 2, da cuit₁ = 1et₂ = 9. Entrambe sono accettabili perché positive. - Ricaviamo
xper ciascun valore dit:
• Set = 1⇒3x = 1 = 30⇒x = 0.
• Set = 9⇒3x = 9 = 32⇒x = 2.
🎯 Soluzioni: x = 0, x = 2