Definizione e Forma Normale
Un'equazione differenziale ordinaria si dice lineare del primo ordine se può essere scritta nella forma normale:
\[y' + a(x)y = b(x)\]
dove \(a(x)\) e \(b(x)\) sono funzioni continue in un dato intervallo. Se \(b(x) = 0\), l'equazione si dice omogenea; se \(b(x) \neq 0\), si dice completa (o non omogenea).
Il Metodo del Fattore Integrante
Per risolvere l'equazione completa si utilizza il metodo del fattore integrante. Si definisce la funzione integrante \(A(x) = \int a(x) \, dx\) e si moltiplicano entrambi i membri per \(e^{A(x)}\):
\[y(x) = e^{-A(x)} \left( \int b(x) e^{A(x)} \, dx + C \right)\]
🔍 Interpretazione della Formula
La soluzione generale è sempre la somma della soluzione generale dell'equazione omogenea associata e di un integrale particolare dell'equazione completa.