Definizione e Forma Generale
Un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine si dice a variabili separabili se può essere scritta nella forma:
\[y' = f(x) \cdot g(y) \quad \text{oppure} \quad y' = \frac{f(x)}{h(y)}\]
Il metodo di risoluzione consiste nel separare le variabili portando tutti i termini in \(y\) da un lato dell'uguale e tutti i termini in \(x\) dall'altro, per poi procedere all'integrazione indefinita di entrambi i membri:
\[\int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx + C\]
🔍 Attenzione alle Soluzioni Stazionarie
Prima di dividere per \(g(y)\), bisogna verificare se esistono valori di \(y\) per cui \(g(y) = 0\). Tali valori annullano la derivata e rappresentano soluzioni costanti (o stazionarie) dell'equazione differenziale, che vanno sempre incluse nell'insieme delle soluzioni.