1. Che cos'è un'Equazione Binomia?
Un'equazione algebrica si dice binomia quando si presenta nella forma normale:
$$ax^n + b = 0 \quad \text{oppure} \quad x^n = k$$
dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali (con \(a \neq 0\)), \(n\) è un intero positivo (\(n \ge 1\)) e \(k = -\frac{b}{a}\).
2. Studio della Soluzione in Base all'Esponente \(n\)
La risoluzione di \(x^n = k\) cambia radicalmente a seconda della parità dell'esponente \(n\):
- Se \(n\) è DISPARI: L'equazione ammette sempre un'unica soluzione reale:
$$x = \sqrt[n]{k}$$
- Se \(n\) è PARI:
- Se \(k > 0\), ammette due soluzioni reali opposte: \(x = \pm \sqrt[n]{k}\).
- Se \(k = 0\), un'unica soluzione: \(x = 0\).
- Se \(k < 0\), nessuna soluzione reale (\(\emptyset\)).