1. La Formula Fondamentale
Dati due punti distinti nel piano cartesiano, A(x1, y1) e B(x2, y2), esiste una e una sola retta che passa per entrambi. L'equazione di questa retta si ricava imponendo il passaggio per due punti tramite la formula algebrica:
y - y1 = x - x1
y2 - y1 x2 - x1
- Il termine al denominatore a sinistra (
y2 - y1) e a destra (x2 - x1) rappresentano rispettivamente l'incremento verticale e orizzontale, il cui rapporto corrisponde al coefficiente angolarem = (y2 - y1) / (x2 - x1). - Casi particolari: Se
x1 = x2(ascisse uguali), la retta è verticale e la formula precedente non è applicabile direttamente; l'equazione sarà semplicementex = x1. Sey1 = y2(ordinate uguali), la retta è orizzontale e la sua equazione sarày = y1.
Figura 1: Rappresentazione geometrica di una retta passante per i punti
A e B nel piano cartesiano.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova l'equazione della retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 8).
Risoluzione passo-passo:
- Identifichiamo le coordinate:
x1 = 1,y1 = 2,x2 = 3,y2 = 8. - Impostiamo la formula:
(y - 2) / (8 - 2) = (x - 1) / (3 - 1). - Semplifichiamo i denominatori:
(y - 2) / 6 = (x - 1) / 2. - Moltiplichiamo entrambi i membri per 6 per isolare il numeratore a sinistra:
y - 2 = 3(x - 1). - Sviluppiamo e riordiniamo:
y - 2 = 3x - 3⇒y = 3x - 1.
🎯 Risultato: L'equazione della retta è y = 3x - 1.