Definizione ed Equazione
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro \(C\). La distanza costante tra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro è il raggio \(r\).
L'equazione canonica (o normale) di una circonferenza nel piano cartesiano si presenta nella forma algebrica:
$$x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$$
Formule Fondamentali
Dati i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) dell'equazione, è possibile ric immediatamente le coordinate del centro \(C(x_C; y_C)\) e la misura del raggio \(r\) tramite le formule:
- Coordinate del Centro: $$C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right)$$
- Misura del Raggio: $$r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 - c} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c}$$
La Condizione di Realtà
Non ogni equazione del tipo \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) rappresenta una circonferenza reale. Affinché la circonferenza esista geometricamente, il radicando della formula del raggio deve essere maggiore o uguale a zero:
$$\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - c \ge 0 \quad \text{oppure} \quad x_C^2 + y_C^2 - c \ge 0$$
- Se il radicando è > 0: la circonferenza è reale e non degenere.
- Se il radicando è = 0: la circonferenza si riduce a un unico punto (circonferenza degenere).
- Se il radicando è < 0: l'equazione non rappresenta alcuna circonferenza reale (insieme vuoto).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Data l'equazione \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\), determina le coordinate del centro e la misura del raggio.
Svolgimento:
- Identifichiamo i coefficienti: \(a = -4\), \(b = 6\), \(c = -3\).
- Calcoliamo il centro \(C\): $$x_C = -\frac{-4}{2} = 2, \quad y_C = -\frac{6}{2} = -3 \implies C(2; -3)$$
- Verifichiamo la realtà e calcoliamo il raggio \(r\): $$r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$$
🎯 Risultato: Centro \(C(2; -3)\) e raggio \(r = 4\).