1. Derivazione dell'Equazione Canonica
Impostando la relazione geometrica vista nella lezione precedente (\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)) su un sistema di assi cartesiani in cui i fuochi si trovano sull'asse \(x\) nei punti \(F_1(-c, 0)\) e \(F_2(c, 0)\), e applicando i passaggi algebrici di sradicamento, si giunge all'equazione cartesiana fondamentale:
Questa è l'equazione canonica (o ridotta) dell'ellisse con centro nell'origine degli assi \(O(0,0)\), dove:
- \(a\) è la misura del semiasse maggiore (lungo l'asse \(x\)).
- \(b\) è la misura del semiasse minore (lungo l'asse \(y\)).
- I vertici dell'ellisse sugli assi sono: \(A_1(-a, 0)\), \(A_2(a, 0)\), \(B_1(0, -b)\) e \(B_2(0, b)\).
2. I Due Casi dell'Ellisse
A seconda di quale denominatore sia maggiore tra \(a^2\) e \(b^2\), l'ellisse assume un orientamento orizzontale o verticale:
Fuochi sull'asse \(x\) (\(a > b\))
L'ellisse è allungata in senso orizzontale.
- Equazione: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- Coordinate fuochi: \(F(\pm c, 0)\)
- Relazione: \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)
Fuochi sull'asse \(y\) (\(a < b\))
L'ellisse è allungata in senso verticale.
- Equazione: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (con \(b > a\))
- Coordinate fuochi: \(F(0, \pm c)\)
- Relazione: \(c = \sqrt{b^2 - a^2}\)
3. L'Eccentricità
L'eccentricità (\(e\)) misura lo "schiacciamento" dell'ellisse ed è definita dal rapporto tra la semi-distanza focale \(c\) e il semiasse maggiore:
Se \(e = 0\), i fuochi coincidono con il centro e l'ellisse diventa una circonferenza. Più \(e\) si avvicina a 1, più l'ellisse diventa allungata e sottile.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Data l'ellisse di equazione \(9x^2 + 25y^2 = 225\), determina i semiassi, le coordinate dei fuochi e l'eccentricità.
Svolgimento:
- Portiamo l'equazione in forma canonica dividendo entrambi i membri per \(225\): $$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = \frac{225}{225} \implies \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$
- Ricaviamo i semiassi: $$a^2 = 25 \implies a = 5 \quad \text{(semiasse maggiore)}$$ $$b^2 = 9 \implies b = 3 \quad \text{(semiasse minore)}$$
- Calcoliamo la semi-distanza focale \(c\): $$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
- Poiché \(a > 25\), i fuochi si trovano sull'asse \(x\): \(F_1(-4, 0)\) e \(F_2(4, 0)\).
- Calcoliamo l'eccentricità: $$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8$$
🎯 Risultato: Semiassi \(a=5, b=3\), Fuochi \((\pm 4, 0)\), Eccentricità \(e = 0.8\).