1. Come nasce la formula della distanza?
Dati due punti generici nel piano cartesiano A(x1, y1) e B(x2, y2), calcolarli la lunghezza del segmento AB significa trovare la distanza geometrica che li separa.
Immaginiamo di tracciare da A una parallela all'asse x e da B una parallela all'asse y: esse si incontreranno in un terzo punto ausiliario C(x2, y1). In questo modo otteniamo un triangolo rettangolo ABC, in cui:
- Il cateto orizzontale misura
|x2 - x1| - Il cateto verticale misura
|y2 - y1| - L'ipotenusa corrisponde proprio alla distanza cercata
AB.
Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo, l'ipotenusa è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti. Da qui deriva direttamente la formula algebrica generale.
2. La Formula Generale
d(A, B) = √[ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 ]
Nota importante: Poiché le differenze delle coordinate sono elevate al quadrato, l'ordine in cui si sottraggono i punti (es. x2 - x1 oppure x1 - x2) è assolutamente ininfluente sul risultato finale.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Trova la lunghezza del segmento congiungente i punti A(-2, 1) e B(3, 13).
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo i dati:
x1 = -2,y1 = 1ex2 = 3,y2 = 13. - Scriviamo la formula:
d = √[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]. - Sostituiamo facendo attenzione ai segni:
d = √[(3 - (-2))2 + (13 - 1)2]. - Semplifichiamo le parentesi:
d = √[(3 + 2)2 + (12)2] = √[52 + 122]. - Eleviamo al quadrato e sommiamo:
d = √[25 + 144] = √169 = 13.
🎯 Risultato: d = 13.