La Formula Generale
In geometria analitica, la distanza $d$ di un punto $P(x_0; y_0)$ da una retta $r$ rappresenta il segmento perpendicolare condotto dal punto alla retta stessa. È la via più breve per raggiungere la retta dal punto.
Per applicare la formula, è obbligatorio che l'equazione della retta sia scritta in forma implicita, ovvero: $ax + by + c = 0$.
📐 Formula della Distanza:
$$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
$$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
I Passaggi per la Risoluzione
- Verifica la retta: Assicurati che la retta sia nella forma $ax + by + c = 0$. Se è in forma esplicita ($y = mx + q$), porta tutti i termini a sinistra.
- Identifica i parametri: Trova i valori di $a, b, c$ dalla retta e di $x_0, y_0$ dal punto $P$.
- Sostituisci nel numeratore: Inserisci le coordinate del punto nell'equazione della retta e calcolane il valore assoluto. Il valore assoluto $|...|$ assicura che la distanza sia sempre positiva o nulla.
- Calcola il denominatore: Esegui la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti $a$ e $b$.
- Semplifica: Se possibile, semplifica la frazione o razionalizza il denominatore.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Calcola la distanza tra il punto $P(2; -1)$ e la retta $r: 3x - 4y + 5 = 0$
Svolgimento:
- I coefficienti della retta sono: $a = 3$, $b = -4$, $c = 5$.
- Le coordinate del punto sono: $x_0 = 2$, $y_0 = -1$.
- Sostituiamo nella formula:
$$d = \frac{|3(2) + (-4)(-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$ - Risolviamo i calcoli interni:
$$d = \frac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15|}{\sqrt{25}}$$ - Concludiamo:
$$d = \frac{15}{5} = 3$$
🎯 La distanza è $d = 3$.