1. Regole Fondamentali e Monotonia
La risoluzione di una disequazione logaritmica richiede di confrontare due espressioni contenenti logaritmi con la stessa base a (dove a > 0 e a ≠ 1). Sfruttiamo la proprietà di monotonia della funzione logaritmica:
- Se
a > 1(funzione strettamente crescente), la disuguaglianza tra gli argomenti mantiene lo stesso verso:loga(f(x)) < loga(g(x)) ⇔ f(x) < g(x)(con l'obbligo di imporref(x) > 0eg(x) > 0). - Se
0 < a < 1(funzione strettamente decrescente), la disuguaglianza inverte il verso:loga(f(x)) < loga(g(x)) ⇔ f(x) > g(x)(sempre unito alle condizioni di esistenza).
2. La Regola d'Oro: Le Condizioni di Esistenza (C.E.)
A differenza delle disequazioni algebriche, nelle disequazioni logaritmiche è tassativo imporre che tutti gli argomenti dei logaritmi presenti nell'equazione di partenza siano strettamente positivi prima di applicare qualsiasi proprietà o artificio algebrico.
Risolviamo log2(x - 1) < 3:
• C.E. dell'argomento: x - 1 > 0 ⇒ x > 1.
• Trasformiamo il numero costante in logaritmo: 3 = log2(23) = log2(8).
• Passiamo agli argomenti (base 2 > 1, verso invariato): x - 1 < 8 ⇒ x < 9.
• Intersecando con le C.E.: 1 < x < 9.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi la disequazione: log3(x + 2) + log3(x) ≤ 1.
Risoluzione passo-passo:
- Impostiamo il sistema delle C.E.:
•x + 2 > 0 ⇒ x > -2
•x > 0
L'intersezione dà come dominio di riferimento:x > 0. - Applichiamo la proprietà del prodotto a sinistra:
log3[x(x + 2)] ≤ log3(3)(poiché1 = log3(3)). - Dato che la base
3 > 1, passiamo agli argomenti mantenendo il verso:x(x + 2) ≤ 3 ⇒ x2 + 2x - 3 ≤ 0. - Risolviamo la disequazione di secondo grado associata: le radici sono
x = 1ex = -3. Soluzione interna:-3 ≤ x ≤ 1. - Mettiamo a sistema con le C.E. (
x > 0):0 < x ≤ 1.
🎯 Soluzione finale: 0 < x ≤ 1