Cosa sono le Disequazioni Letterali di 2° Grado?
Una disequazione letterale di secondo grado presenta, oltre all'incognita $x$, una o più lettere chiamate parametri (di solito $a, b, k$). La presenza del parametro richiede di analizzare come cambiano le soluzioni al variare del valore assunto dalla lettera.
$$x^2 - ax > 0 \quad \text{oppure} \quad ax^2 - (a+1)x + 1 \le 0$$
Metodo di Risoluzione e Discussione
- Forma Normale: Portare tutti i termini a sinistra in modo da avere un polinomio ordinato rispetto a $x$ confrontato con zero ($>0, <0, \ge0, \le0$).
- Raccolgimento / Scomposizione: Se possibile, scomporre il trinomio in fattori di primo grado (es. $(x - x_1)(x - x_2) \ge 0$) per applicare direttamente lo studio del segno del prodotto.
- Discussione del Parametro nel Primo Coefficiente ($a$): Se il coefficiente di $x^2$ contiene un parametro, bisogna studiare cosa accade se tale coefficiente è nullo, positivo o negativo.
- Studio del Delta ($\Delta$): Se non si scompone facilmente, calcolare il $\Delta$ in funzione del parametro e discutere i casi $\Delta > 0$, $\Delta = 0$ e $\Delta < 0$.
📝 Esempio Guidato
Risolvi la disequazione letterale: $$x^2 - ax > 0$$
- Scomposizione del polinomio: Raccogliendo la $x$ a fattor comune si ottiene: $$x(x - a) > 0$$
- Studio del segno dei fattori:
- Fattore 1: $x > 0$
- Fattore 2: $x - a > 0 \implies x > a$
- Tabella dei Segni e Discussione (Caso $a > 0$):
| Fattore | 0 | $a$ | |||
|---|---|---|---|---|---|
| F1: $x > 0$ | |||||
| F2: $x > a$ | |||||
| Prodotto > 0 | + | ∄ | - | ∄ | + |
🎯 Soluzione discussa:
- Se $a < 0$: $x < a \cup x > 0$
- Se $a = 0$: $x \ne 0$
- Se $a > 0$: $x < 0 \cup x > a$