1. Definizione e Schemi Risolutivi
Una disequazione si dice irrazionale quando l'incognita $x$ compare sotto il segno di radice.
A. Radice con Indice Pari: $\sqrt{A(x)} < B(x)$
Poiché il radicando deve essere non negativo e la radice è sempre positiva o nulla, occorre impostare un singolo sistema di tre disequazioni:
$$\begin{cases} A(x) \ge 0 \quad (\text{Condizione di Esistenza}) \\ B(x) > 0 \quad (\text{Concordanza di segno}) \\ A(x) < [B(x)]^2 \quad (\text{Elevamento al quadrato}) \end{cases}$$
B. Radice con Indice Pari: $\sqrt{A(x)} > B(x)$
In questo caso la radice può essere maggiore di un numero negativo (sempre vero purché esista) oppure di un numero positivo. Si scompone nell'unione di due sistemi:
$$\begin{cases} B(x) < 0 \\ A(x) \ge 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} B(x) \ge 0 \\ A(x) > [B(x)]^2 \end{cases}$$
C. Radice con Indice Dispari: $\sqrt[3]{A(x)} > B(x)$
Non ci sono problemi di C.E. né di segno per le radici ad indice dispari. È sufficiente elevare entrambi i membri alla potenza dell'indice:
$$A(x) > [B(x)]^3$$
📝 Esempio Guidato: $\sqrt{x^2 - 3x} < x - 1$
Applichiamo lo schema per $\sqrt{A(x)} < B(x)$:
- Impostazione del sistema: $$\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0 & (\text{C.E.}) \\ x - 1 > 0 & (\text{Positività di } B(x)) \\ x^2 - 3x < (x - 1)^2 & (\text{Elevamento a quadrato}) \end{cases}$$
- Risoluzione delle singole disequazioni:
- $x^2 - 3x \ge 0 \implies x \le 0 \cup x \ge 3$
- $x - 1 > 0 \implies x > 1$
- $x^2 - 3x < x^2 - 2x + 1 \implies -x < 1 \implies x > -1$
- Intersezione delle soluzioni del sistema:
Cercando l'intersezione comune a tutte e tre le condizioni: $x \ge 3$. - Soluzione finale: $x \ge 3$
⚠️ Errore comune: Non elevare mai a quadrato entrambi i membri di una disequazione senza aver prima studiato le Condizioni di Esistenza e il segno dei due membri!