Definizione di Disequazione Intera
Una disequazione si dice intera quando l'incognita $x$ non compare al denominatore di alcuna frazione. Una disequazione di 1° grado intera può sempre essere condotta alla sua forma normale:
📐 Forma Normale:
$$ax > b \quad \text{oppure} \quad ax < b \quad (\text{anche con } \ge \text{ o } \le)$$ dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $a \ne 0$.
$$ax > b \quad \text{oppure} \quad ax < b \quad (\text{anche con } \ge \text{ o } \le)$$ dove $a$ e $b$ sono numeri reali e $a \ne 0$.
Procedimento di Risoluzione Generale
- Eseguire le parentesi: Sviluppare eventuali prodotti, quadrati o prodotti notevoli.
- Semplificare i denominatori numerici: Se presenti frazioni con denominatori costanti, eliminare i denominatori moltiplicando tutti i termini per il $\text{m.c.m.}$.
- Trasporto dei termini: Spostare tutti i termini con l'incognita $x$ al 1° membro e i termini noti al 2° membro (cambiando segno).
- Somma dei termini simili: Ridurre la disequazione alla forma normale $ax > b$.
- Isolamento dell'incognita: Dividere entrambi i membri per il coefficiente $a$.
⚠️ Ricorda: se $a < 0$, inverti il verso della disequazione!
Casi Particolari ($a = 0$)
Se durante la semplificazione l'incognita si annulla ($0x > b$ oppure $0x < b$):
- Sempre Vera ($\forall x \in \mathbb{R}$): Ad esempio $0x > -5$ (è vero per qualsiasi $x$).
- Impossibile ($\nexists x \in \mathbb{R}$): Ad esempio $0x > 5$ (è falso per qualsiasi $x$).
📝 Esercizio Esempio Guidato
Risolvi la disequazione: $3(x - 2) - 2(2x + 1) \ge 4 - 5x$
Svolgimento passo-passo:
- Sviluppiamo le parentesi: $3x - 6 - 4x - 2 \ge 4 - 5x$.
- Semplifichiamo i membri: $-x - 8 \ge 4 - 5x$.
- Trasportiamo i termini: $-x + 5x \ge 4 + 8 \implies 4x \ge 12$.
- Dividiamo per $+4$ (il verso non cambia): $x \ge \frac{12}{4} \implies x \ge 3$.
🎯 Soluzione: $x \ge 3$ oppure $x \in [3, +\infty)$.