1. Struttura e Metodo di Risoluzione
Una disequazione di secondo grado si presenta nella forma normale:
$$ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{oppure } \ge, <, \le)$$
💡 Nota sui coefficienti frazionari: Un'equazione o disequazione come $\frac{1}{4}x^2 - x - 3 > 0$ è un'equazione/disequazione INTERA e NON fratta. È definita fratta solo quando l'incognita $x$ compare al denominatore. Quando vi sono numeri al denominatore (es. $\frac{1}{4}$), si tratta semplicemente di un coefficiente reale. Per semplicità, si può eliminare il denominatore moltiplicando tutta la disequazione per il m.c.m. delle frazioni.
Procedimento Passo-Passo:
- Normalizzazione: Portare tutti i termini a sinistra lasciando $0$ a destra. Se il primo coefficiente $a$ è negativo, è consigliabile cambiare tutti i segni e invertire il verso del verso della disequazione.
- Eliminazione dei denominatori numerici (opzionale ma consigliato): Moltiplicare tutti i termini per il m.c.m. positivo per lavorare con numeri interi.
- Equazione Associata: Risolvere $ax^2 + bx + c = 0$ e calcolare $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Interpretazione Grafica (Parabola):
- $\Delta > 0$: Due soluzioni $x_1 < x_2$.
-
| Per $> 0$ oppure $\ge 0$: valori esterni ($x < x_1 \cup x > x_2$).
| Per $< 0$ oppure $\le 0$: valori interni ($x_1 < x < x_2$).
- $\Delta = 0$: Un'unica soluzione $x_1 = x_2 = x_0$.
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| Per $> 0$: $\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{x_0\}$.
| Per $\ge 0$: $\forall x \in \mathbb{R}$.
| Per $< 0$: Nessuna soluzione ($\emptyset$).
| Per $\le 0$: Solo $x = x_0$.
- $\Delta < 0$: Nessuna radice reale. La parabola sta interamente sopra l'asse $x$.
-
| Per $> 0$ o $\ge 0$: Sempre verificata ($\forall x \in \mathbb{R}$).
| Per $< 0$ o $\le 0$: Impossibile ($\emptyset$).
- $\Delta > 0$: Due soluzioni $x_1 < x_2$.
📝 Esempio Guidato (con coefficienti frazionari)
Risolvi la disequazione intera: $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2 > 0$
- Eliminiamo i denominatori: Troviamo il $\text{m.c.m.}(4, 2) = 4$. Moltiplichiamo entrambi i membri per $4$ (essendo positivo, il verso rimane $> $): $$4 \cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2\right) > 4 \cdot 0 \implies x^2 - 2x - 8 > 0$$
- Risolviamo l'equazione associata: $x^2 - 2x - 8 = 0$ $$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \implies x_1 = -2, \, x_2 = 4$$
- Studio del verso ($> 0$ e $\Delta > 0$): Essendo il verso della disequazione $> 0$, la parabola è positiva negli intervalli esterni alle radici.
- Soluzione Finale: $$x < -2 \quad \cup \quad x > 4$$
⚠️ Ricorda: Se moltiplichi o dividi entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, devi invertire il verso della disequazione (da $>$ a $<$, o da $\le$ a $\ge$).