1. Tipologie di Disequazioni Incomplete
Una disequazione di 2° grado è incompleta se manca il termine noto ($c = 0$), il termine di primo grado ($b = 0$) o entrambi ($b = c = 0$).
A. Disequazioni Spurie ($c = 0$)
$$ax^2 + bx > 0 \quad (\text{oppure } <, \ge, \le)$$
Metodo: Raccogliere $x$ a fattor comune $\implies x(ax + b) > 0$. L'equazione associata ammette sempre due radici reali: $x_1 = 0$ e $x_2 = -\frac{b}{a}$. Poi si applica la regola dei valori interni o esterni.
B. Disequazioni Pure ($b = 0$)
$$ax^2 + c > 0 \quad (\text{oppure } <, \ge, \le)$$
Metodo: Isolare $x^2 \implies x^2 > -\frac{c}{a}$.
- Se $-\frac{c}{a} > 0$: radici $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$. Valori esterni per $>$, interni per $<$.
- Se $-\frac{c}{a} < 0$: ad esempio $x^2 > -5$ è sempre verificata ($\forall x \in \mathbb{R}$), mentre $x^2 < -5$ è impossibile ($\emptyset$).
📝 Esempio Guidato 1 (Spuria con coefficiente frazionario)
Risolvi la disequazione: $\frac{1}{3}x^2 - 2x \ge 0$
- Moltiplichiamo per 3 per eliminare la frazione: $x^2 - 6x \ge 0$.
- Raccogliamo la $x$: $x(x - 6) \ge 0$.
- Equazione associata: $x_1 = 0, \, x_2 = 6$.
- Avendo verso $\ge 0$, la soluzione comprende i valori esterni (inclusi gli estremi): $$x \le 0 \quad \cup \quad x \ge 6$$
📝 Esempio Guidato 2 (Pura)
Risolvi la disequazione: $2x^2 - 18 < 0$
- Isoliamo $x^2$: $2x^2 < 18 \implies x^2 < 9$.
- Equazione associata: $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
- Avendo verso $< 0$, prendiamo i valori interni: $$-3 < x < 3$$
⚠️ Attenzione alle disequazioni pure impossibili: Un quadrato reale $x^2$ non può mai essere negativo. Quindi $x^2 < -4$ non ha alcuna soluzione ($S = \emptyset$), mentre $x^2 > -4$ è vera per qualunque numero reale ($\forall x \in \mathbb{R}$).