Cosa sono le Disequazioni Frazionarie Goniometriche
Una disequazione goniometrica si dice frazionaria quando l'incognita $x$ compare al denominatore all'interno di funzioni trigonometriche. La forma generale è:
$$\frac{N(x)}{D(x)} > 0 \quad (\text{oppure } \ge, <, \le 0)$$
Per risolverla correttamente è fondamentale seguire tre step logici rigorosi: imporre le Condizioni di Esistenza (C.E.) ponendo il denominatore rigorosamente diverso da zero, studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente tramite il cerchio goniometrico o scomposizioni algebriche, e infine costruire lo schema di moltiplicazione dei segni nel periodo di riferimento $[0, 2\pi]$.
📝 Esempio Guidato
Risolvi la disequazione nell'intervallo $[0, 2\pi]$: $\frac{2\sin x - 1}{\cos x} > 0$
- Condizioni di Esistenza: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- Studio del Numeratore ($N > 0$): $2\sin x - 1 > 0 \implies \sin x > \frac{1}{2} \implies \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$.
- Studio del Denominatore ($D > 0$): $\cos x > 0 \implies 0 \le x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{3\pi}{2} < x \le 2\pi$.
- Tabella dei segni e combinazione: Incrociando i segni e tenendo conto delle C.E., otteniamo l'intervallo finale delle soluzioni.