Cosa sono le Disequazioni Goniometriche Elementari
Una disequazione goniometrica si dice elementare quando l'incognita $x$ compare all'argomento di un'unica funzione trigonometrica e il confronto avviene rispetto a un valore numerico reale. Le forme tipiche sono:
$$\sin x > k, \quad \cos x \le k, \quad \tan x > k$$
Per risolverle si utilizza il cerchio goniometrico associato alle relazioni fondamentali e alla periodicità delle funzioni trigonometriche ($2\pi$ per seno e coseno, $\pi$ per la tangente).
📝 Esempio Guidato
Risolvi la disequazione nel periodo principale $[0, 2\pi]$: $\sin x > \frac{1}{2}$
- Associamo l'equazione limite $\sin x = \frac{1}{2}$, i cui angoli di riferimento sono $x_1 = \frac{\pi}{6}$ e $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.
- Disegniamo il cerchio goniometrico e tracciamo la retta orizzontale $y = \frac{1}{2}$.
- Poiché cerchiamo dove il seno è maggiore di $\frac{1}{2}$ (cioè l'ordinata è più alta), individuiamo l'arco compreso tra i due angoli trovati.
- Scriviamo l'intervallo di soluzione tenendo conto della periodicità: $$\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$