Cos'è una Disequazione Frazionaria?
Una disequazione è frazionaria (o fratta) quando l'incognita $x$ figura al denominatore di almeno una frazione:
$$\frac{N(x)}{D(x)} > 0 \quad \text{oppure} \quad \frac{N(x)}{D(x)} \ge 0 \quad (\text{analogamente per } <, \le)$$
Procedimento di Risoluzione
- Forma normale: Portare tutti i termini al 1° membro per ottenere $0$ al 2° membro ed eseguire il $\text{m.c.m.}$.
- Condizioni di Esistenza (C.E.): Imporre sempre $D(x) \ne 0$.
- Studio del segno separato: Studiare sempre $N(x) \ge 0$ (o $> 0$) e $D(x) > 0$ (rigorosamente $ > 0$, mai $\ge 0$).
- Tabella dei segni: Tracciare la griglia con i punti critici ben allineati e determinare il segno del quoziente ($+ \cdot + = +$, $+ \cdot - = -$).
📝 Esempio Guidato con Tabella dei Segni
Risolvi: $$\frac{x - 3}{x + 1} \ge 0$$
- Condizioni di Esistenza (C.E.): $x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$
- Numeratore: $N(x) \ge 0 \implies x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$ (punto incluso 🔵 in $3$)
- Denominatore: $D(x) > 0 \implies x + 1 > 0 \implies x > -1$ (punto escluso 🔴 in $-1$)
| Fattore | -1 | 3 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| N: $x \ge 3$ | |||||
| D: $x > -1$ | |||||
| Esito $\ge 0$ | + | ∄ | - | 0 | + |
🎯 Soluzione Finale: $$x < -1 \quad \cup \quad x \ge 3$$