1. Procedimento per Disequazioni Fratte Complesse
Quando la disequazione fratta presenta più fattori sia al numeratore che al denominatore, ad esempio:
$$\frac{A(x) \cdot B(x) \cdot C(x)}{D(x) \cdot E(x)} \ge 0$$
Si procede ponendo **ciascun singolo fattore $\ge 0$ se si trova al Numeratore**, oppure **$> 0$ (strettamente) se si trova al Denominatore**.
⚠️ Condizioni di Esistenza (C.E.): I fattori del Denominatore vanno SEMPRE espressi con $> 0$ per evitare la divisione per zero. I loro valori di azzeramento sul grafico corrispondono sempre a un pallino rosso escluso 🔴 e all'esito $\nexists$.
📝 Esempio Guidato con Quadro dei Segni Allineato
Risolvi la disequazione fratta: $$\frac{x^2 - 9}{x - 1} \le 0$$
Studio dei Segni:
- Numeratore: $N(x) \ge 0 \implies x^2 - 9 \ge 0 \implies x \le -3 \quad \cup \quad x \ge 3$ (punti inclusi 🔵 in $-3$ e $3$)
- Denominatore: $D(x) > 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1$ (punto escluso 🔴 in $1$)
| Fattore | -3 | 1 | 3 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| N: $x^2 - 9 \ge 0$ | |||||||
| D: $x - 1 > 0$ | |||||||
| Esito Frazione | - | 0 | + | ∄ | - | 0 | + |
Soluzione Finale: $$x \le -3 \quad \cup \quad 1 < x \le 3$$