1. Richiamo sulla Monotonia e Regole Fondamentali
La risoluzione delle disequazioni esponenziali si fonda sulla proprietà di monotonia della funzione esponenziale f(x) = ax (con a > 0 e a ≠ 1).
- Se
a > 1(funzione strettamente crescente), la funzione preserva il verso della disuguaglianza:af(x) < ag(x) ⇔ f(x) < g(x). - Se
0 < a < 1(funzione strettamente decrescente), la funzione inverte il verso della disuguaglianza:af(x) < ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
2. Tipologie di Disequazioni Esponenziali
- Disequazioni elementari: Del tipo
af(x) > b(o minore). Seb ≤ 0, la disequazione si risolve immediatamente in base al codominio dell'esponenziale (ax > 0è sempre vera per ognix ∈ R). - Disequazioni riconducibili per sostituzione: Strutturate come disequazioni di secondo grado (es.
A · a2x + B · ax + C > 0), ponendo la variabile ausiliariat = axcon la condizione fondamentalet > 0.
📐 Esempio Pratico:
Risolviamo la disequazione 23x-1 > 2x+3:
• Poiché la base è 2 > 1, la funzione è crescente e possiamo passare direttamente agli esponenti mantenendo il verso: 3x - 1 > x + 3.
• Risolviamo l'inequazione algebrica: 2x > 4 ⇒ x > 2.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi la disequazione esponenziale: (1/3)x-2 ≥ (1/3)4-x.
Risoluzione passo-passo:
- Verifichiamo la base:
a = 1/3, che è compresa tra0e1(0 < 1/3 < 1). La funzione esponenziale è strettamente decrescente. - Uguagliando gli argomenti, dobbiamo invertire il verso della disuguaglianza:
x - 2 ≤ 4 - x. - Portiamo i termini con la
xa sinistra e i numeri a destra:x + x ≤ 4 + 2 ⇒ 2x ≤ 6. - Dividiamo per
2:x ≤ 3.
🎯 Soluzione: x ≤ 3