1. Introduzione e Forma Normale
Una disequazione algebrica intera si dice di grado superiore al secondo quando, portata in forma normale, il polinomio associato ha grado $n \ge 3$. La forma normale generale si presenta come:
L'obiettivo fondamentale per risolvere queste disequazioni non è applicare formule dirette (che non esistono per gradi $\ge 5$ e sono impraticabili per il 3° e 4° grado), bensì scomporre il polinomio $P(x)$ nel prodotto di fattori di primo e secondo grado:
2. Metodi Fondamentali di Scomposizione
Prima di studiare il segno, bisogna saper scomporre il polinomio con le tecniche algebriche fondamentali:
- Raccoglimento Totale a Fattor Comune: Estarre il fattor comune massimo (es. $x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$).
- Raccoglimento Parziale: Raggruppare i termini a coppie o gruppi per evidenziare un binomio comune.
- Prodotti Notevoli: Differenza di quadrati ($A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$), somma o differenza di cubi ($A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2)$).
- Regola di Ruffini: Fondamentale per polinomi di 3°, 4° grado o superiore. Si cercano i divisori del termine noto $a_0$, si individua una radice intera $\alpha$ tale che $P(\alpha) = 0$, e si divide il polinomio per $(x - \alpha)$.
3. Procedura Passo dopo Passo per la Risoluzione
- Portare a 0: Spostare tutti i termini a sinistra in modo da avere un polinomio maggiore o minore di zero ($> 0$, $< 0$, $\ge 0$, $\le 0$).
- Scomporre in Fattori: Ridurre il polinomio $P(x)$ nel prodotto di fattori irriducibili (primo o secondo grado con $\Delta < 0$).
- Studio del Segno dei Singoli Fattori: Porre ciascun fattore strettamente maggiore di zero ($F_i(x) > 0$), indipendentemente dal verso della disequazione iniziale.
- Costruire la Tabella dei Segni (o Grafico dei Segni): Ordinare le radici sulla retta reale, tracciare le linee continue (segno più) o tratteggiate (segno meno) per ogni fattore e applicare la regola dei segni della moltiplicazione verticale.
- Estrarre l'Insieme delle Soluzioni: Scegliere gli intervalli in base al verso finale della disequazione (se $> 0$ o $\ge 0$ cerchiamo i segni PIÙ; se $< 0$ o $\le 0$ cerchiamo i segni MENO).
📝 Esempio Guidato Completo
Risolvi la disequazione di terzo grado:
Passo 1: Scomposizione con Ruffini o Raccoglimento Parziale.
Usiamo il raccoglimento parziale a coppie:
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) > 0 \implies (x - 2)(x^2 - 1) > 0$.
Scomponendo ulteriormente la differenza di quadrati $(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)$, otteniamo la forma fattorizzata completa:
Passo 2: Studio dei singoli fattori ($> 0$).
- Fattore 1: $x + 1 > 0 \implies x > -1$ (Radice: $-1$)
- Fattore 2: $x - 1 > 0 \implies x > 1$ (Radice: $1$)
- Fattore 3: $x - 2 > 0 \implies x > 2$ (Radice: $2$)
Passo 3: Tabella dei Segni. Ordinando le radici in ordine crescente ($-1, 1, 2$):
| Fattore / Intervallo | \(x < -1\) | \(-1\) | \(-1 < x < 1\) | \(1\) | \(1 < x < 2\) | \(2\) | \(x > 2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x + 1\) | - | 0 | + | + | + | + | + |
| \(x - 1\) | - | - | - | 0 | + | + | + |
| \(x - 2\) | - | - | - | - | - | 0 | + |
| Prodotto Totale (\(>\) 0) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
🎯 Soluzione della Disequazione: Poiché la disequazione richiede il polinomio maggiore di zero ($> 0$), peschiamo gli intervalli con segno **PIÙ**: \(-1 < x < 1 \quad \cup \quad x > 2\).