1. Disequazioni di 1° Grado con Valore Assoluto
Le disequazioni con modulo si dividono in due casistiche fondamentali a seconda del verso rispetto a una costante positiva \(k > 0\):
Caso A: Minoranza (\(\lvert A(x) \rvert < k\)) ➔ Intervallo Interno
La distanza dallo zero è minore di $k$, quindi l'argomento è compreso tra \(-k\) e \(k\).
$$\lvert A(x) \rvert < k \iff -k < A(x) < k \quad (\text{Sistema: } \begin{cases} A(x) > -k \\ A(x) < k \end{cases})$$
Schema Grafico: Intervallo Interno (\(-k < x < k\))
-\(\infty\)
-k
k
+\(\infty\)
Esterno: Escluso
Interno Accettato ✅
Esterno: Escluso
Caso B: Maggioranza (\(\lvert A(x) \rvert > k\)) ➔ Intervalli Esterni
La distanza dallo zero è maggiore di $k$, quindi l'argomento è minore di \(-k\) oppure maggiore di \(k\).
$$\lvert A(x) \rvert > k \iff A(x) < -k \lor A(x) > k$$
Schema Grafico: Intervalli Esterni (\(x < -k \lor x > k\))
-\(\infty\)
-k
k
+\(\infty\)
Esterno Accettato ✅
Interno: Escluso ❌
Esterno Accettato ✅
2. Disequazioni di 2° Grado con Valore Assoluto
Quando il modulo racchiude un'espressione di secondo grado \(\lvert ax^2 + bx + c \rvert \le k\) o maggiore, si impostano i sistemi equivalenti unendo lo studio del segno della parabola interna.
Proprietà generale: \(\lvert P(x) \rvert \le g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ -g(x) \le P(x) \le g(x) \end{cases}\)