Cos'è la Regola della Catena (Chain Rule)?
La derivata della funzione composta (nota nei paesi anglosassoni come Chain Rule) si applica quando abbiamo una funzione definita applicando una funzione a sua volta all'interno di un'altra, del tipo \(f(g(x))\).
Enunciato formale:
Se \(g(x)\) è derivabile in \(x\) e \(f(u)\) è derivabile in \(u = g(x)\), allora la funzione composta \(F(x) = f(g(x))\) è derivabile e la sua derivata è:
\[D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
In parole povere: "Deriva la funzione esterna lasciando inalterata la funzione interna, e moltiplica tutto per la derivata della funzione interna."
🛠️ Esempi classici di applicazione
- Potenza di una funzione: \(D[[f(x)]^n] = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)\)
- Funzione esponenziale composta: \(D[e^{f(x)}] = e^{f(x)} \cdot f'(x)\)
- Funzione trigonometrica composta: \(D[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\)
Questa regola è fondamentale per affrontare il calcolo differenziale avanzato e la risoluzione di integrali per sostituzione.