Cos'è la Radice $n$-esima?
Dati un numero reale $a$ e un numero naturale $n \in \mathbb{N}$ con $n \ge 1$, la radice $n$-esima di $a$ è quel numero reale $b$ che, elevato alla potenza $n$, restituisce $a$:
$$\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$$
- $n$ prende il nome di indice della radice.
- $a$ prende il nome di radicando.
- Se $n = 2$, l'indice si omette solitamente: $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}$.
Distinzione tra Indice Pari e Dispari
La definizione di radice varia in base alla parità dell'indice $n$:
- Indice $n$ PARI ($n = 2, 4, 6, \dots$):
- Il radicando deve essere **non negativo** ($a \ge 0$). Non esiste nei numeri reali la radice con indice pari di un numero negativo (es. $\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$).
- Il risultato è sempre unico e non negativo: $\sqrt[n]{a} \ge 0$.
- Indice $n$ DISPARI ($n = 3, 5, 7, \dots$):
- La radice esiste per **qualsiasi valore reale** di $a$ (positivo, nullo o negativo).
- Il risultato ha lo stesso segno del radicando (es. $\sqrt[3]{-8} = -2$ perché $(-2)^3 = -8$).
📝 Esempi Guidati
- $\sqrt[4]{81} = 3$ perché $3^4 = 81$ (indice pari, radicando e risultato positivi).
- $\sqrt[3]{-125} = -5$ perché $(-5)^3 = -125$ (indice dispari, risultato negativo).
- $\sqrt{-16} \implies$ Impossibile in $\mathbb{R}$ (indice pari 2 con radicando negativo).