Cos'è una Cuspide?
Una cuspide è un particolare punto di non derivabilità in cui la funzione è continua in un punto \(x_0\), ma i limiti della derivata prima da sinistra e da destra tendono a infinito con segni opposti (uno a \(+\infty\) e l'altro a \(-\infty\)). Geometricamente, il grafico forma una punta aguzza in cui la retta tangente tende a diventare verticale.
Condizioni analitiche per la presenza di una cuspide in \(x_0\):
- La funzione è continua in \(x_0\).
- Il limite della derivata prima da sinistra e da destra esiste ed è infinito, ma con segni discordi: \[\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to x_0^+} f'(x) = -\infty\] (oppure viceversa: \(-\infty\) da sinistra e \(+\infty\) da destra).
🛠️ Esempi tipici e particolarità
- La funzione radice quadrata del valore assoluto: Funzioni come \(f(x) = \sqrt{|x|}\) presentano una cuspide nell'origine \(x = 0\), dove il grafico ha una caratteristica punta a forma di "V" capovolta o acuta.
- Differenza con il punto angoloso: Nel punto angoloso i limiti destro e sinistro della derivata prima sono finiti ma diversi tra loro; nella cuspide, invece, entrambi i limiti tendono a infinito ma con segni contrari.