1. La Formula del Cubo di Binomio
Il cubo di un binomio è un prodotto notevole che si sviluppa in quattro termini (un quadrinomio). La regola generale afferma che il cubo della somma di due termini è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.
🔹 Formula con la somma:
🔹 Formula con la differenza:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³🔹 Formula con la differenza:
(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³
2. Regole sui Segni e Proprietà
Quando si sviluppa un cubo di binomio:
- Se il binomio contiene una sottrazione
(A - B)³, i segni dei termini dello sviluppo saranno alternati:+ - + -. - L'esponente dispari (3) conserva il segno originario delle basi: il cubo di un numero negativo rimane negativo.
- I tripli prodotti dipendono dal quadrato del primo o del secondo termine: poiché qualsiasi quadrato è sempre positivo, il segno del triplo prodotto dipende solo dal termine non elevato al quadrato.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Calcola lo sviluppo del seguente cubo di binomio: ( 2x - 3y )³.
Risoluzione passo-passo:
- Cubo del primo termine:
(2x)³ = 8x³ - Triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo:
3 · (2x)² · (-3y) = 3 · (4x²) · (-3y) = -36x²y - Triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo:
3 · (2x) · (-3y)² = 3 · (2x) · (9y²) = +54xy² - Cubo del secondo termine:
(-3y)³ = -27y³
🎯 Risultato finale: 8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³