Il Delta (\(\Delta\)) nella Parabola
Data l'equazione di una parabola con asse verticale \(y = ax^2 + bx + c\), il discriminante \(\Delta\) (delta) è definito esattamente come nelle equazioni di secondo grado:
Il valore di \(\Delta\) è fondamentale non solo per trovare le intersezioni con l'asse \(x\), ma compare direttamente all'interno delle formule del fuoco e della direttrice.
Formule per la Parabola con Asse Verticale
Consideriamo l'equazione canonica \(y = ax^2 + bx + c\). Le coordinate dei punti notevoli si ricavano tramite le seguenti relazioni fisse:
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Vertice (\(V\)): Punto di massimo o di minimo della curva.
$$V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$$
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Fuoco (\(F\)): Situato "dentro" la concavità della parabola ad una distanza di \(\frac{1}{4a}\) dal vertice.
$$F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right)$$
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Direttrice (\(d\)): Retta esterna alla parabola, posta simmetricamente al fuoco rispetto al vertice.
$$y = -\frac{1 + \Delta}{4a}$$
Disposizione Geometrica di Vertice, Fuoco e Asse
Il vertice \(V\) e il fuoco \(F\) si trovano entrambi sull'asse di simmetria verticale.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Calcola le coordinate del vertice e del fuoco della parabola \(y = x^2 - 4x + 3\).
Svolgimento:
- Identifichiamo i coefficienti: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
- Calcoliamo il delta (\(\Delta\)): $$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$$
- Calcoliamo il Vertice \(V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)\): $$x_V = -\frac{-4}{2(1)} = 2, \quad y_V = -\frac{4}{4(1)} = -1 \implies V(2, -1)$$
- Calcoliamo il Fuoco \(F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right)\): $$x_F = 2, \quad y_F = \frac{1 - 4}{4(1)} = \frac{-3}{4} = -0.75 \implies F\left(2, -\frac{3}{4}\right)$$
🎯 Risultato: Vertice \(V(2, -1)\) e Fuoco \(F(2, -0.75)\).