1. L'Esigenza di un Ampliamento Numerico
Nell'insieme dei numeri reali R, l'equazione algebrica elementare x2 + 1 = 0 (ovvero x2 = -1) risulta priva di soluzioni, poiché il quadrato di qualsiasi numero reale è per definizione sempre maggiore o uguale a zero. Per superare questo limite e consentire la risoluzione di qualsiasi equazione di secondo grado con discriminante negativo, si introduce un nuovo ente matematico: l'unità immaginaria i.
- Definizione fondamentale: L'unità immaginaria
iè definita come quel numero il cui quadrato è uguale a-1:i2 = -1(o equivalentementei = √-1). - Numeri immaginari puri: Un numero del tipo
bi(doveb ∈ R) è detto numero immaginario puro.
2. Le Potenze Successive dell'Unità Immaginaria
Calcolando le potenze successive di i, si nota una struttura ciclica di periodo 4 che semplifica notevolmente qualsiasi calcolo algebrico:
i1 = ii2 = -1i3 = i2 · i = -1 · i = -ii4 = i2 · i2 = (-1) · (-1) = 1
Per calcolare in con un esponente intero qualsiasi, è sufficiente dividere l'esponente n per 4 e considerare il resto della divisione (0, 1, 2 o 3).
Calcoliamo i27:
• Dividiamo 27 per 4: 27 = 4 · 6 + 3.
• Il resto della divisione è 3.
• Di conseguenza, i27 = i3 = -i.
📝 Esercizio Esempio Guidato
Testo: Risolvi nel campo dei numeri complessi l'equazione di secondo grado: x2 + 9 = 0.
Risoluzione passo-passo:
- Isoliamo il termine con l'incognita al primo membro:
x2 = -9. - Applichiamo la radice quadrata a entrambi i membri tenendo conto del doppio segno:
x = ±√-9. - Scompongo l'argomento negativo sfruttando le proprietà dei radicali e l'unità immaginaria:
√-9 = √(9 · (-1)) = √9 · √-1 = 3i. - Otteniamo così le due soluzioni distinte nel campo complesso.
🎯 Soluzioni: x = 3i oppure x = -3i