Definizioni e Criterio della Derivata Seconda
Una funzione si dice convessa (o con concavità rivolta verso l'alto) in un intervallo se il grafico si trova al di sopra delle sue tangenti. Si dice concava (o con concavità rivolta verso il basso) se il grafico si trova al di sotto delle tangenti.
\[f''(x) > 0 \implies \text{Convessa (∪)} \qquad f''(x) < 0 \implies \text{Concava (∩)}\]
💡 Regole Operative per lo Studio della Concavità
- Calcolo della Derivata Seconda: Si calcola \(f''(x)\) derivando due volte la funzione di partenza \(f(x)\).
- Studio del Segno: Si risolve la disuguaglianza \(f''(x) > 0\) per trovare gli intervalli in cui la funzione è convessa, e \(f''(x) < 0\) per quelli in cui è concava.
- Punti di Divisione: I punti in cui \(f''(x) = 0\) (o in cui la derivata seconda non esiste) separano gli intervalli di diversa concavità.