Cos'è la Circonferenza Goniometrica?
In un sistema di assi cartesiani ortogonali, si chiama circonferenza goniometrica quella circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi \(O(0, 0)\) e raggio uguale a \(1\).
📐 Equazione della Circonferenza Goniometrica
L'equazione cartesiana della circonferenza goniometrica si ricava ponendo centro in \(C(0,0)\) e raggio \(r = 1\):
Considerando un angolo orientato \(\alpha\) il cui lato terminale interseca la circonferenza in un punto \(P(x, y)\), le coordinate del punto \(P\) coincidono rispettivamente con il coseno e il seno dell'angolo: \(x_P = \cos\alpha\) e \(y_P = \sin\alpha\).
Le Coordinate dei Punti Principali
Gli assi cartesiani intersecano la circonferenza goniometrica in quattro punti fondamentali corrispondenti agli angoli multipli di \(90^\circ\) (\(\frac{\pi}{2}\)):
- Origine degli archi (\(A\)): Corrisponde a \(0^\circ\) o \(0\,\text{rad}\), coordinate \((1, 0)\).
- Punto di interazione asse \(y\) positivo (\(B\)): Corrisponde a \(90^\circ\) o \(\frac{\pi}{2}\,\text{rad}\), coordinate \((0, 1)\).
- Punto simmetrico orizzontale (\(A'\)): Corrisponde a \(180^\circ\) o \(\pi\,\text{rad}\), coordinate \((-1, 0)\).
- Punto di interazione asse \(y\) negativo (\(B'\)): Corrisponde a \(270^\circ\) o \(\frac{3\pi}{2}\,\text{rad}\), coordinate \((0, -1)\).
📝 Esempio Guidato
Verificare se il punto \(P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) appartiene alla circonferenza goniometrica.
Svolgimento:
- Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione della circonferenza goniometrica \(x^2 + y^2 = 1\):
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$$
- Sommiamo le frazioni ottenute:
$$\frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
🎯 Risultato: Poiché l'uguaglianza è verificata (\(1 = 1\)), il punto \(P\) appartiene alla circonferenza goniometrica (e individua l'angolo di \(60^\circ\) o \(\frac{\pi}{3}\)).